Двоичная система счисления

Двоичная система счисления

История возникновения, характеристики, перевод из двоичной системы счисления в десятичную. Математические операции в двоичной системе счисления: сложение, вычитание, умножение, деление.
14.05.2016 / 19:53 | pomnibeslan
Система счисления – это способ отображения чисел на бумаге. Они используются в расчетах на оборудовании и цифровой аппаратуре. Двоичная система счисления сейчас представляет собой один из наиболее востребованных инструментов в вычислительных приборах. Рассмотрим особенности работы с этой системой счисления.
 

История возникновения двоичной системы счисления

 
Ученые древнего мира предложили производить вычисления, используя лишь 2 цифры, и предположили, что за таким методом расчета будущее. Это объясняется простотой такого метода исчисления: всего 2 положения (0 и 1), 2 позиции, например, есть сигнал или нет сигнала. Немецкий математик Лейбниц полагал, что математические операции, осуществляемые над 2 цифрами, несут в себе определенный порядок. 
 
До 40-х годов 20 века теория двоичной системы не развивалась, пока американский ученый Клод Шеннон не предложил применять ее в работе электронных схем. Оказалось, что их использование в ПЭВМ гораздо предпочтительнее, ведь человеку непросто запоминать громоздкое скопление нулей и единиц. А в компьютере достаточно создать устройство, имеющее логические 0 и 1, то есть обладающее не более 2 логическими состояниями. Это может быть намагниченный или размагниченный сердечник, закрытый или открытый трансформатор и т.д. Всего 2 положения, а не 10, как могло бы быть при использовании десятичной системы при компьютерных вычислениях.   
 
 

Характеристики двоичной системы счисления

 
К особенностям двоичной системы счисления следует отнести:
 
  • Использование всего пары цифр (0 и 1). Основание такой системы равно 2. 
  • Алгебраические операции, проводимые с числами из двух цифр, не представляют большой сложности.
  • Хранение и преобразование сигналов видеоаппаратурой и приборами записи осуществляется в коде, состоящем из 0 и 1.
  • Цифровые каналы связи обмениваются данными, используя их представление в виде 0 и 1. 
 

Счет в двоичной системе

 

Рассмотрим, как правильно считать и выполнять более сложные преобразования, если в наличии всего 2 цифры:

0 – ноль.

1 – один.

Далее должна идти цифра 2. Она записывается в виде 2 цифр с повышением разряда числа:

10 – два.

И затем для каждой цифры по порядку идет повышение разряда:

11 – три.

100 – четыре.

101 – пять.

110 – шесть.

111 – семь.

После 7 цифры записываются в виде 4 разрядов:

1000 – восемь.

1001 – девять.

1010 – десять.

1011 – одиннадцать.

1100 – двенадцать.

1101 – тринадцать.

1110 – четырнадцать.

1111 – пятнадцать. 

Далее цифры будут представлены в виде 5 разрядов, пока не исчерпаются все возможные комбинации, после этого произойдет очередное повышение разряда.
 

Перевод чисел из двоичной системы в десятичную

 
Представление десятичных чисел в двоичной системе делает их довольно громоздкими. Рассмотрим как происходит обратный процесс: перевод числа, состоящего из 0 и 1, в удобный для нас вид. Например, нужно перевести двоичный код 10101110 в десятичный вид. 
 

Его можно разбить по степеням, как это выполняется в десятичной системе. Так, число 1587 можно отобразить как:

1000 + 500 + 80 + 7. 

Или еще одним способом:

1*103 + 5*102 + 8*101 + 7*100

В предыдущей записи просуммированы степени, соответствующие разряду каждой цифры за вычетом 1. За основание степени взято число10, потому что это десятичная система счисления. Этот метод можно применить к числу, представленному в двоичном виде. Только за основание степени следует брать цифру 2. Получается:

10101110 = 1*27 + 0*26 + 1*25 + 0*24 + 1*23 + 1*22 + 1*21 + 0*20 = 128 + 0 + 32 + 0 + 8 + 4 + 2 + 0 = 174. 

Степени двойки выбираются по следующему принципу: необходимо посчитать разряд цифры и вычесть 1 из этого значения. Следует помнить, что разряд увеличивается справа налево. Так, самая первая единица имеет восьмой разряд, тогда ее надо умножить на 27 и т.д. 
 

Таким образом, двоичная форма числа 10101110 – это 174 в десятичном представлении. Корректная запись выглядит так:

101011102 = 17410

Бывает необходимость в обратном процессе: перевести десятичный вид записи в последовательность из 0 и 1. Это выполняется путем деления на 2 и образованием двоичного числа из остатка. Например, число 69.
 
Делимое  Делитель  Частное  Остаток 
69 2 34 1
34 2 17 0
17 2 8 1
8 2 4 0
4 2 2 0
2 2 1 0
1 2 0 1
 

Смотрим на остаток. Получаем число в двоичной форме, начиная с последней строчки: 1000101 (эти цифры расположены в столбце «Остаток», если смотреть снизу вверх). Нужно проверить полученный результат:

1000101 = 1*26 + 0*25 + 0*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 64 + 4 +1 = 69. 

 

Математические операции с двоичными числами

 

Сложение.

 

Это основная арифметическая операция при расчетах на компьютерах. Основные принципы сложения двоичных чисел опираются на правила:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

Таким образом, складывая в столбик 11012 и 1102, получаем 100112 или 1910
 

Вычитание.

 
Эта операция идентична сложению, если представить, что одно из двоичных чисел является отрицательным. В таком случае нужно учитывать модули складываемых чисел.
 
Правила, используемые при вычитании:
 

0 – 0 = 0

1 – 0 = 1

0 – 1 = 1 (занимаем из старшего разряда).

1 – 1 = 0

Например, вычитаем из 11102 число 1012, получаем 10012 или 910
 

Умножение.

 
Это непростая операция над кодом из 0 и 1. Вычислительные машины имеют специальный регистр, который накапливает промежуточные суммы и путем сдвига и последовательного сложения получается итоговое умножение.
 
На бумаге умножение представляет собой совокупность операций сложения. Например, необходимо произвести умножение 1010 на 4010
 

Преобразуем их в совокупность 0 и 1:

1010 =000010102

4010 = 001010002

Оба числа в двоичной форме имеют слева и справа несколько нулей, которые не играют роли в операции умножения. Значимые части – это 101 в числе 10 и 101 в числе 40, расположенные между нулями. Их нужно перемножить, а нули просто дописать в итоговом результате: 
 
  Незначимые нули слева Значимая часть Незначимые нули справа
Первый множитель
0000 101 0
Второй множитель
00 101 000
Промежуточный этап умножения
 

101

101

 
Результат умножения 000000 11001 0000
Итоговый результат     000000110010000
 
Перемножаем левую и правую единицу второго множителя на первый множитель, затем суммируем полученный промежуточный результат. Нули складываем и переписываем в итоговый результат умножения, который в двоичной форме выглядит так: 0000001100100002 (нижняя строчка слева направо). 
 

Проверяя, получаем:

1 * 28 + 1 * 27 + 1 * 24 = 256 + 128 + 16 = 400.  

Деление

 
Это довольно сложное преобразование над двоичной формой записи, потому что возможны случаи деления с остатком.
 

Рассмотрим наиболее простой пример деления без остатка. Надо разделить 1410 на 210. В двоичном виде это выглядит так:

1410 = 11102

210 = 102

 
Делим 11102 на 102 в столбик:
 
_1110 |10
  10     111
  _11
    10
    _10
      10
        0
 
Получаем число 1112, что равняется 7 в десятичной системе счисления. При проверке умножением доказываем точность результата:
 
  Значимая часть Незначимые нули справа
Первый множитель 111  
Второй множитель 1 0
Итоговый результат 111 0

Смотрим на нижнюю строчку слева направо, результат умножения – 11102. Ответ верный. 

 
Читать дальше:
 

Комплексные числа

Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Действия над комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление.
Число Пи

Число Пи

В чем уникальность числа Пи. Необычные факты о числе Пи. Применение числа Пи в геометрии, физике, квантовой механике

Магические числа 3, 7, 13

Практически у каждого человека есть любимое число, которое приносит ему удачу. Самые распространённые суеверия, связанные с числами три, семь, тринадцать.
 

Добавить комментарий

4 + 14 =
Решите эту простую математическую задачу и введите результат. Например, для 1+3, введите 4.